Планиметрия — формулы | Справочник формул для ЕГЭ

Сумма углов треугольника

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Сумма углов четырёхугольника

\[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \]

Вертикальные углы

\[ \angle 1 = \angle 2 \]

Смежные углы

\[ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \]

Параллельные прямые

Внутренние накрест лежащие углы \[ \angle 3 = \angle 6, \quad \angle 4 = \angle 5 \] Соответственные углы \[ \angle 1 = \angle 5, \quad \angle 2 = \angle 6, \quad \angle 3 = \angle 7, \quad \angle 4 = \angle 8 \] Внутренние односторонние углы \[ \angle 3 + \angle 5 = 180^\circ, \quad \angle 4 + \angle 6 = 180^\circ \]

Площадь треугольника

\[ S = \frac{1}{2}ah \] \[ S = \frac{1}{2}ab\sin\beta \] \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2} \]

Признаки подобия треугольников

По двум углам \[ \angle A = \angle A_1, \ \angle B = \angle B_1 \ \Rightarrow \ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \] По двум сторонам и углу между ними \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}, \ \angle A = \angle A_1 \ \Rightarrow \ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \] По трём сторонам \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \ \Rightarrow \ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \]

Отношение площадей подобных треугольников

\[ \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A_1B_1C_1}} = k^2 \] где k — коэффициент подобия \[ k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \]

Узнаваемые конструкции подобных треугольников

Песочные часы

Линия параллельно основанию

Линия под наклоном

Линия из вершины

Средняя линия треугольника

\[ MN \parallel BC, \quad MN = \frac{1}{2}\,BC \] Средняя линия параллельна основанию и равна его половине Подобие \[ \triangle AMN \sim \triangle ABC, \quad S_{AMN} = \frac{1}{4}\,S_{ABC} \]

Теорема Пифагора

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Площадь прямоугольного треугольника

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Синус и косинус

\[ \sin A = \frac{a}{c}, \quad \cos A = \frac{b}{c} \] Основное тригонометрическое тождество \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

Тангенс и котангенс

\[ \operatorname{tg} A = \frac{a}{b}, \quad \operatorname{ctg} A = \frac{b}{a} \] Связь тангенса и котангенса \[ \operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}, \quad \operatorname{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A}, \quad \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{ctg} A = 1 \]

Медиана, проведённая к гипотенузе

\[ CM = \frac{1}{2}AB \] Медиана к гипотенузе равна её половине

Свойство угла 30°

\[ a = \frac{c}{2} \] Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы

Прямоугольный треугольник с углом 45°

\[ a = b, \quad c = a\sqrt{2} \] Катеты равны; гипотенуза в √2 раз больше катета

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Катет и его проекция \[ a^2 = c \cdot x, \quad b^2 = c \cdot y \] Высота, проведённая к гипотенузе \[ h^2 = x \cdot y \]

Параллелограмм

\[ S = ah \] \[ S = ab\sin\alpha \]

Трапеция

\[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h \] \[ S = mh \]

Средняя линия трапеции

\[ MN = \frac{a+b}{2} \] Средняя линия параллельна основаниям и равна полусумме их длин

Четырёхугольник

\[ S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi \]

Ромб

\[ S = \frac{1}{2}d_1d_2 \]

Прямоугольник

\[ S = ab \]

Квадрат

\[ S = a^2 \] \[ S = \frac{1}{2}d^2 \]

Круг

\[ S = \pi R^2 \]

Центральный и вписанный угол

Касательная к окружности. Радиус в точке касания

\[ OA \perp AB \]

Свойство касательной и секущей

\[ AB^2 = AC \cdot AD \]

Радиус описанной окружности треугольника

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

Радиус вписанной окружности треугольника

\[ r = \frac{S}{p} \]

Равносторонний треугольник: описанная окружность

\[ R = \frac{2}{3}h, \quad R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \]

Равносторонний треугольник: вписанная окружность

\[ r = \frac{1}{3}h, \quad r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \]

Вписанный четырёхугольник

\[ \angle A + \angle C = 180^\circ \] Сумма противоположных углов

Описанный четырёхугольник

\[ AB + CD = BC + AD \] Суммы противоположных сторон