1. Планиметрия

Углы

Сумма углов треугольника \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Сумма углов четырёхугольника \[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \] Вертикальные углы \[ \angle 1 = \angle 2 \] Смежные углы \[ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \]

Треугольник

Площадь через основание и высоту \[ S = \frac{1}{2}ah \] Площадь через две стороны и угол \[ S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma \] Формула Герона \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Площадь через катеты \[ S = \frac{1}{2}ab \] Синус и косинус острого угла \[ \sin A = \frac{a}{c}, \quad \cos A = \frac{b}{c} \]

Площадь

Треугольник \[ S = \frac{1}{2}ah \] Параллелограмм \[ S = ah = ab\sin\alpha \] Ромб (через диагонали) \[ S = \frac{1}{2}d_1d_2 \] Трапеция \[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h \] Круг \[ S = \pi R^2 \]

Центральный и вписанный угол

Центральный угол \[ \text{Центральный} = 2 \cdot \text{Вписанный} \] Если опираются на одну дугу Соотношение \[ \angle AOB = 2\angle ACB \]

Касательная к окружности

Радиус к точке касания \[ OA \perp AB \] Степень точки (касательная и секущая) \[ AB^2 = AC \cdot AD \]

Вписанная и описанная окружность

Вписанный четырёхугольник \[ \angle A + \angle C = 180^\circ \] Сумма противоположных углов Описанный четырёхугольник \[ AB + CD = BC + AD \] Суммы противоположных сторон Радиус описанной окружности треугольника \[ R = \frac{abc}{4S} \] Радиус вписанной окружности треугольника \[ r = \frac{S}{p} \]

2. Векторы

Основные формулы

Длина вектора \[|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\] Скалярное произведение (координаты) \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\] Скалярное произведение (длины и угол) \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha\] Условие перпендикулярности \[\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

3. Стереометрия

Объёмы

Параллелепипед \[V = abc\] Куб \[V = a^3\] Призма \[V = S_{\text{осн}} \cdot h\] Пирамида \[V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h\] Цилиндр \[V = \pi R^2 h\] Конус \[V = \frac{1}{3}\pi R^2 h\] Шар \[V = \frac{4}{3}\pi R^3\]

Площади поверхностей

Цилиндр (полная) \[S = 2\pi R^2 + 2\pi Rh\] Конус (полная) \[S = \pi R^2 + \pi Rl\] Шар \[S = 4\pi R^2\]

4–5. Теория вероятностей

Вероятность

Классическая вероятность \[P(A) = \frac{m}{n}\] Противоположное событие \[P(\bar{A}) = 1 - P(A)\] Сумма несовместных \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] Сумма совместных \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\] Произведение независимых \[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\] Формула полной вероятности \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)\]

6. Уравнения

Квадратное уравнение

\[ax^2 + bx + c = 0\]

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Иррациональные уравнения

\[\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = g^2(x) \end{cases}\]

\[\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases}\]

Логарифмические уравнения

\[\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b, \quad a > 0, a \neq 1\]

\[\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}\]

Показательные уравнения

\[a^{f(x)} = b \iff f(x) = \log_a b, \quad a > 0, a \neq 1, b > 0\]

\[a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)\]

7. Вычисления

Логарифмы

1.\[\log_a 1 = 0\]

2.\[\log_a a = 1\]

3.\[a^{\log_a b} = b\]

4.\[\log_a b^r = r \log_a b\]

5.\[\log_{a^r} b = \frac{1}{r} \log_a b\]

6.\[\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)\]

7.\[\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\]

8.\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]

9.\[\log_a b \cdot \log_b a = 1\]

Степени

1.\[a^0 = 1 \ (a \neq 0)\]

2.\[a^n a^m = a^{n+m}\]

3.\[\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\]

4.\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]

5.\[\left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n\]

6.\[(a^n)^m = a^{nm}\]

7.\[(ab)^n = a^n b^n\]

8.\[\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]

9.\[\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}\]

Корни

1.\[\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\]

2.\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]

3.\[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\]

4.\[\sqrt[n]{a^{2n}} = |a|\]

5.\[(\sqrt[n]{a})^n = a\]

6.\[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[mn]{a}\]

Формулы сокращённого умножения

1.\[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\]

2.\[(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\]

Тригонометрия (справочные материалы ЕГЭ)

1.\[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\]

2.\[\sin 2x = 2 \sin x \cos x\]

3.\[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\]

4.\[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\]

5.\[\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\]

Косинус двойного угла (все формы)

1.\[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\]

2.\[\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\]

3.\[\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\]

8. Производная (графики)

Производная и графики

Геометрический смысл \[f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha = k\] Уравнение касательной \[y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\] Точки экстремума \[f'(x_0) = 0\] Возрастание \[f'(x) > 0 \Rightarrow f(x) \uparrow\] Убывание \[f'(x) < 0 \Rightarrow f(x) \downarrow\]

12. Производная (формулы)

Правила дифференцирования

Сумма \[(f+g)' = f' + g'\] Произведение \[(fg)' = f'g + fg'\] Частное \[\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\] Вынесение скаляра \[(cf)' = c \cdot f'\]

Сложная функция

Общая формула \[\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

Таблица производных

Обычная функция

Сложная функция

\[(x^n)' = n x^{n-1}\]

\[(f^n)' = n \cdot f^{n-1} \cdot f'\]

\[(\sin x)' = \cos x\]

\[(\sin f)' = \cos f \cdot f'\]

\[(\cos x)' = -\sin x\]

\[(\cos f)' = -\sin f \cdot f'\]

\[(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\]

\[(\operatorname{tg} f)' = \frac{f'}{\cos^2 f}\]

\[(e^x)' = e^x\]

\[(e^f)' = e^f \cdot f'\]

\[(a^x)' = a^x \ln a\]

\[(a^f)' = a^f \ln a \cdot f'\]

\[(\ln x)' = \frac{1}{x}\]

\[(\ln f)' = \frac{f'}{f}\]

\[(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\]

\[(\log_a f)' = \frac{f'}{f \ln a}\]

\[(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[(\sqrt{f})' = \frac{f'}{2\sqrt{f}}\]